Эта статья или раздел нуждается в переработке. |
В математике, логике и компьютерных науках теорией типов считается какая-либо формальная система, являющаяся альтернативой наивной теории множеств, сопровождаемая классификацией элементов такой системы с помощью типов, образующих некоторую иерархию. Также под теорией типов понимают изучение подобных формализмов.
Теория типов — математически формализованная база для проектирования, анализа и изучения систем типов данных в теории языков программирования (раздел информатики). Многие программисты используют это понятие для обозначения любого аналитического труда, изучающего системы типов в языках программирования. В научных кругах под теорией типов чаще всего понимают более узкий раздел дискретной математики, в частности λ-исчисление с типами.
Современная теория типов была частично разработана в процессе разрешения парадокса Рассела и во многом базируется на работе Бертрана Рассела и Альфреда Уайтхеда «Principia mathematica»[1].
Доктрина типов восходит к Б. Расселу, согласно которому всякий тип рассматривается как диапазон значимости пропозициональной (высказывательной) функции. Помимо того, считается, что у всякой функции имеется тип (её домен, область определения). В доктрине типов соблюдается выполнимость принципа замены типа (высказывания) на дефинициально эквивалентный тип (высказывание).
В основе этой теории лежит принцип иерархичности. Это означает, что логические понятия — высказывания, индивиды, пропозициональные функции — располагаются в иерархию типов. Существенно, что произвольная функция в качестве своих аргументов имеет лишь те понятия, которые предшествуют ей в иерархии.
Под некоторой теорией типов обычно понимают прикладную логику высших порядков, в которой имеется тип N натуральных чисел и в которой выполняются аксиомы арифметики Пеано[источник не указан 851 день].
Этот раздел не завершён. |
Разветвлённая теория типов (Ramified Theory of Types, RTT)[2]
Этот раздел не завершён. |
Интуиционистскую теорию типов (Intuitionistic Type Theory, ITT) построил Пер Мартин-Лёф.
Теория чистых систем типов[en] (англ. pure type systems, PTS) обобщает все исчисления лямбда-куба и формулирует правила, позволяющие вычислить их как частные случаи. Её независимо построили Берарди (Berardi) и Терлоу (Terlouw). Чистые системы типов оперируют только понятием типа, рассматривая все понятия других исчислений только в виде типов — потому они и называются «чистыми». Не производится разделения между термами и типами, между различными слоями (т.е. рода́ типов также называются типами, только относящимися к другой вселенной), и даже сами слои называются не сортами, а типами (точнее, вселенными типов). В общем виде, чистая система типов задаётся понятием спецификации, пятью жёсткими правилами и двумя гибкими (меняющимися от системы к системе). Спецификация чистой системы типов представляет собой тройку (S,A,R), где S
— множество сортов (Sorts), A
— множество аксиом (Axioms) над этими сортами и R
— множество правил (Rules).[3][4][5]
Теории типов высших размерностей (англ. higher-dimensional type theories или просто higher type theories, HTT) обобщают традиционные теории типов, разрешая устанавливать нетривиальные отношения равенства между типами. Например, если взять множество пар (декартовых произведений) натуральных чисел nat × nat
и множество функций, возвращающих натуральное число nat -> nat
, то нельзя утверждать, что элементы этих множеств попарно равны, но можно утверждать, что эти множества эквивалентны. Изоморфизмы между типами и изучаются в двухмерной, трёхмерной и т.д. теориях типов. Весь необходимый базис для формулировки этих теорий был заложен ещё Жираром — Рейнольдсом, но сами теории были сформулированы много позже.[6][7]
Гомотопическая теория типов (англ. homotopy type theory, HoTT) обобщает многомерные теории, устанавливая равенства типов на уровне топологий.
Это заготовка статьи по логике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .