WikiSort.ru - Программирование

Дерево Фенвика (двоичное индексированное дерево, англ. Fenwick tree, binary indexed tree, BIT) — структура данных, позволяющая быстро изменять значения в массиве и находить некоторые функции от элементов массива. Впервые описано Питером Фенвиком в 1994 году.^[1] Дерево Фенвика напоминает дерево отрезков, однако проще в реализации.

Дерево Фенвика для суммы

Будем обозначать для натурального числа ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(n)}$ максимальный делитель ${\displaystyle n}$ , являющийся степенью двойки (единицу мы также считаем степенью двойки). Нетрудно убедиться, что F(n)=n−(n & (n−1)), где & — побитовое «И» двух целых чисел. Пусть наш массив ${\displaystyle a}$ имеет ${\displaystyle n}$ элементов: ${\displaystyle a[1],a[2],\dots ,a[n]}$ . Выберем ${\displaystyle k}$ , при котором ${\displaystyle 2^{k}\geq n}$ . Тогда для хранения дерева Фенвика понадобится массив ${\displaystyle b}$ из ${\displaystyle 2^{k}}$ элементов. Будем нумеровать их от 1 до ${\displaystyle 2^{k}}$ . В ячейке ${\displaystyle b[t]}$ будет храниться сумма в ячейках массива ${\displaystyle a}$ с ${\displaystyle t-F(t)+1}$ по ${\displaystyle t}$ .

Дерево Фенвика для суммы поддерживает 2 операции:

1) modify с аргументами ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle X}$  — изменить значение ${\displaystyle N}$ -й ячейки массива ${\displaystyle a}$ на число ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle X}$ может быть как положительно, так и отрицательно).

2) count с аргументом ${\displaystyle N}$  — найти сумму чисел в ячейках массива ${\displaystyle a}$ с 1-й по ${\displaystyle N}$ -ю.

Обе операции могут быть легко реализованы одним циклом.

modify (N,X)

1)	i=N
2)	Пока i≤${\displaystyle 2^{k}}$
2.1)	Увеличиваем b[i] на X
2.2)	Увеличиваем i на F(i)

count (N)

4)   Ответ = res

Сложность обеих операций составляет O(k) = O(log n). Стоит отметить, что с помощью операции count(N) мы, вообще говоря, можем найти сумму на любом отрезке ${\displaystyle [l,r]}$ за ту же сложность, поскольку при ${\displaystyle l}$ ≠1 она в точности равняется ${\displaystyle count(r)-count(l-1)}$ .

Дерево Фенвика для максимума

Дерево Фенвика для максимума поддерживает следующие операции:

1) modify с аргументами ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle X}$  — если значение в ${\displaystyle N}$ -й ячейке массива ${\displaystyle a}$ меньше ${\displaystyle X}$ , то записать в неё число ${\displaystyle X}$ . В противном случае оставить значение старым.

2) count с аргументами ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle R}$  — найти максимум чисел в ячейках массива ${\displaystyle a}$ с ${\displaystyle L}$ -й по ${\displaystyle R}$ -ю.

Для хранения дерева, кроме массива ${\displaystyle a}$ , будем использовать массивы ${\displaystyle left}$ и ${\displaystyle right}$ . В ${\displaystyle t}$ -й ячейке массива ${\displaystyle left}$ будем хранить максимум на отрезке ${\displaystyle [t-F(t)+1,t]}$ ; в ${\displaystyle t}$ -й ячейке массива ${\displaystyle right}$  — максимум на отрезке ${\displaystyle [t,t+F(t)-1]}$ при ${\displaystyle t<2^{k}}$ и на отрезке ${\displaystyle [t,t]}$ при ${\displaystyle t=2^{k}}$ .

Ниже приведена реализация операций.

modify (N,X)

count (L,R)

Сложность операций = ${\displaystyle O(\log(n))}$ .

Заметим, что с помощью дерева Фенвика для максимума нельзя уменьшить значение, записанное в ячейке. Если требуется, чтобы структура данных имела такую возможность, следует использовать дерево отрезков для максимума.

Операции могут быть легко модифицированы, чтобы дерево Фенвика находило не только значение максимума, но и ячейку, в которой этот максимум достигается.

Примечания

Ссылки

• А. Лахно Дерево Фенвика. Курс «Структуры данных», МЦНМО.
• Реализация дерева Фенвика на C++ на e-maxx.ru
• Реализация дерева Фенвика на Java
• Статья про дерево Фенвика на Хабрахабре

Для улучшения этой статьи желательно: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей. Викифицировать статью.